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由机率统计谈工程之风险与不确定性

时间:2020-07-25  作者:

不论于求学哪个阶段,统计与机率都是理工相关科系的一个重要课题,其主要用来探讨我们所面临的风险跟不确定性。在数学上,所谓「随机变数」是指变数的值无法预先确定,仅以一定的可能性(机率)取值的量。

由于随机而获得的非确定值,是机率中的一个基本概念,于样本空间中的每一个基本事件数值化,而各种不同事件出现的频率不同,导致各个数值出现的频率不同,而「机率」就是反映其出现的相对的频率。「随机变数」出现的各个可能数值与其对应的「机率」 就称为「随机变数」的「机率分布」(probability distribution)。

对应于工程中之风险之不确定性,最早定义何谓风险与不确定性者为美国着名经济学家 Frank Knight,其将决策者所面临之事件与情况分为完全确定 (Complete Certainty)、风险 (Risk)、以及不确定性 (Uncertainty) 三大类,通常以机率概估与分析之事件少属完全确定。

而风险被其定义为,决策者于某情况下了解所有可行之选择,然各选择却有一定数量之可能结果,导致决策者无法了解各选项之结果,于此情况下机率将被指派至各个结果。不确定性被定义为无法指派机率至可能结果。决策者对于某情况下之所有可行选择有所了解,却无法指派机率至所有或部分之可行选项。于极端之情形下,决策者对于所有之可行选择甚至将一无所知。

由机率统计谈工程之风险与不确定性

图一 风险不确定性与主客观风险概念图(图来源:自行绘製)

定义一如往常般地绕口,然图一却充分反映出于实际情况下工程师所面临之问题。以年最大洪水量来设计堤防高程不溢堤为例,设计堤防高程时工程师可凭藉自身过往之经验与对课题之了解,客观地对于目标参数即年最大洪水量造成之高程做出先验上之假设。

先验有一种无须诉诸过往经验就能确认事实之存在概念;然多数之情况工程师于客观之推估乃採后验。所谓后验假设即凭藉历史年最大洪水量,寻找最适当描述过往资料之统计分布(常态分布、对数常态分布、皮尔森第三型分布…),当分布确立即可了解不同年最大洪水量设计之堤防高程,于不同区间值之可能性,如图二所示,红线代表不同之门槛值,其红线右方即代表于此对应之门槛值下可能遭受到之风险。

由机率统计谈工程之风险与不确定性

图二 机率分布于不同区间值之可能性示意图(图来源:自行绘製)

而当工程师无法由后验判断资料之最适机率分布时,工程师仅可根据其对于情况所具备之理解做出主观推估假设,此时以人为本的主观性就进场取代客观之机率推估。

再将主客观机率之概念用直白一点的方式论述。主观机率的概念是一个事件发生的机率是由人類的经验或心理的感觉所决定的,只能根据人们对发生此事件的信心来作决定,是一种主观判断的结果,视机率为一事件之相信程度。而客观机率的概念乃藉由重複多次试验、观测,事件出现机率为是该事件出现次数与试验的总次数之比,其与主观风险机率之差异在于,其可更精确地被观察进而量测。简言之、客观风险为已经经历之预期经验中,事实结果之可能变化。

由机率统计谈工程之风险与不确定性

图三 传统单一条件与风险条件工程分析概念之差异(图来源:自行绘製)

然现实工程师于近来遭遇气候变迁等不确定性影响,于工程设计上仰赖主观判断之情况越来越多,有时于统计甚至将面临无从判断之情况,即纵使利用经验判断做出假设,仍离事实有一段差距。从图三可看出,传统单一值之分析概念为採用单一条件因此仅会得到一个结果,然于风险考量下分析之条件应具备一範围或其自身呈现一分布,使得推估出来的结果同样为一範围或分布。

故当遭遇高不确定性无从分析之状态下,以往单一值之工程分析概念必须做出改变,在不确定性的世界中,单一值应以假设之分布值群作为替代,由于结果为不确定的,故需避免具备不确定性之知识被涵盖确定性之单一值所混淆。工程师在尽自身职责之同时,同样得面临大自然所开出来之挑战做出想法上之调适,或许传统统计理论的想法于现今充满诸多不确定性因素之工程条件下已显得捉襟见肘。


参考文献


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